设数列
满足
(
且
)，
.
(1)求证：
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(2)对任意的正整数
，当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
.
(1)
，
;(2)
;(3) 见解析;
(1)由
可得
，所以
是首项为
，公比为3的等比数列，进而可求得
(2)由题可转化为
，即
，对任意
恒成立，再看成关于m的一次函数，需
，解得
的取值范围为
.
(3)由(1)知
，利用当
时，
，对
进行放缩可得
.
(1)解：由
(
且
)得
(
且
)
∵
，∴
，∴
，(
且
)
∴
是首项为3，公比为3的等比数列.
∴
.
∴
，
.
(2)要使对任意的正整数
，当
时，不等式
恒成立，
则须使
，
即
，对任意
恒成立，
∴
，解得
或
，
∴实数
的取值范围为
.
(3)证明：由(1)知
，当
时，
，
∴
，
所以
.
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