14春福建师范大学《实变函数》在线作业一

福师《实变函数》在线作业一
试卷总分：100 奥鹏学习网（aopeng123.cn) 发布
判断题
单选题
多选题
一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）
V
1. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
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2. 若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
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3. 若f,g∈AC，则 f ,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A. 错误
B. 正确
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4. 测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
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5. f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
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6. 若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
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7. 绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
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8. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n =g_n，a.e.,n=1,2,…,则f =g,a.e.
A. 错误
B. 正确
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9. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要 f 可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
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10. 若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
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11. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得 f =g.
A. 错误
B. 正确
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12. 设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
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13. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
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14. 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
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15. 若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
B. 正确
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16. 若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
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17. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
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18. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
B. 正确
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19. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
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20. f为[a,b]上减函数，则f(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
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21. 三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
B. 正确
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22. 对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
B. 正确
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23. 利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A. 错误
B. 正确
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24. 函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
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25. 存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
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26. 若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
B. 正确
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27. 不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f(x)在[a,b]上积分值∫fdx f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
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28. 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A. 错误
B. 正确
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29. 闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
B. 正确
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30. 有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A. 错误
B. 正确
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31. 存在某区间[a,b]上增函数f，使得f(x)在[a,b]上积分值∫fdx f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
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32. 设f:R- R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
B. 正确
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33. f在[a,b]上为增函数，则f的导数f∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
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34. 当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
B. 正确
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35. L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
B. 正确
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36. 若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A. 错误
B. 正确
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37. 若 f 和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A. 错误
B. 正确
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判断题
单选题
多选题
二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）
V
1. 若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. A c 为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
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2. 设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V 0 x (g)是[0,1]上的
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
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3. fn- f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. fn - f ,a.e.
此题选: D 满分：2 分
4. fn∈L(E),则fn- 0,a.e.是∫ E fndx- 0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
此题选: D 满分：2 分
5. 开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
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单选题
多选题
三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）
V
1. 若0 =g =f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
C. g ∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
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2. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. f 可积
C. f^2可积
D. f ∞.a.e.
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3. 若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
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4. 设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
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5. 若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. g 可测
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6. 设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
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7. A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(AB)包含f(A) (B)
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8. 若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
C. f(x)=f(a)+∫ a x f (t)dt
D. f∈Lip[a,b]
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