14春福建师范大学《实变函数》在线作业二

福师《实变函数》在线作业二
试卷总分：100 奥鹏学习网（aopeng123.cn) 发布
判断题
单选题
多选题
一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）
V
1. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要 f 可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
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2. 若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
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3. 绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
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4. 有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A. 错误
B. 正确
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5. f在[a,b]上为增函数，则f(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
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6. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n =g_n，a.e.,n=1,2,…,则f =g,a.e.
A. 错误
B. 正确
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7. 若 f 和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A. 错误
B. 正确
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8. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
B. 正确
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9. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
B. 正确
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10. f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
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11. 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
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12. 零测度集的任何子集都是可测集.
A. 错误
B. 正确
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13. 对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
B. 正确
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14. f在[a,b]上为增函数，则f的导数f∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
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15. 不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f(x)在[a,b]上积分值∫fdx f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
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16. 对R^n中任意点集E，EE必为可测集.
A. 错误
B. 正确
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17. 若f有界且m(X) ∞,则f可测。
A. 错误
B. 正确
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18. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
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19. 三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
B. 正确
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20. 当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x- +∞}f(x)=0.
A. 错误
B. 正确
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21. 函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
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22. L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
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23. 若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
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24. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
B. 正确
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25. 若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A. 错误
B. 正确
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26. 函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
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27. 若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
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28. f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
B. 正确
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29. 若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A. 错误
B. 正确
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30. 三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
B. 正确
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31. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
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32. 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
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33. 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
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34. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得 f =g.
A. 错误
B. 正确
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35. 可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
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36. 若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
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37. f为[a,b]上减函数，则f(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
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判断题
单选题
多选题
二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）
V
1. 若f∈L(X),则
A. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得 f =g
C. 若∫ X fdu=0,则f=0,a.e.
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2. 有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
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3. fn∈L(E),则fn- 0,a.e.是∫ E fndx- 0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
此题选: D 满分：2 分
4. fn- f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. fn - f ,a.e.
此题选: D 满分：2 分
5. 若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. A c 为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
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判断题
单选题
多选题
三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）
V
1. 若0 =g =f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
C. g ∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
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2. 设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于 f
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
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3. 设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f可积
D. 区间[a,b]上积分值∫f(x)dx=f(b)-f(a)
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4. 若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
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5. A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(AB)包含f(A) (B)
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6. 若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. g 可测
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7. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. f 可积
C. f^2可积
D. f ∞.a.e.
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8. 若f∈BV[a,b]，则（ ）
A. f为有界函数
B. V a x (f)为增函数
C. 对任意c有V a b (f)=V a c (f)+V c b (f)
D. f至多有可数个第一类间断点
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