线性代数复习题

线性代数复习题1
一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)
1. 下列矩阵中，        不是初等矩阵。
  (A)  
  (B)  
  (C)  
  (D)  
正确答案：B
解答参考：初等矩阵一定是可逆的。
2.  则       。
  (A)  
  (B)  
  (C)  
  (D)  
正确答案：D
解答参考：
A错误，因为 m<n ，不能保证 R(A)=R(A|b) ；
B错误， Ax=0 的基础解系含有 n−R( A ) 个解向量；
C错误，因为有可能 R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；
D正确，因为 R(A)=n 。
3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B)           。
  (A) 小于n
  (B) 等于n
  (C) 小于等于n
  (D) 大于等于n
正确答案：A
解答参考：
4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|=        。
  (A) 4
  (B) －4
  (C) －64
  (D) 64
正确答案：C
解答参考：
5. 线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 +⋯+ a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2, ⋯⋯ ⋯⋯ a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m }的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ¯ ,则它有无穷多个解的充要条件为 。
  (A) R(A)=R( A ¯ )<n
  (B) R(A)=R( A ¯ )<m
  (C) R(A)<R( A ¯ )<m
  (D) R(A)=R( A ¯ )=m
正确答案：A
解答参考：
6. 一个 n维向量组 α 1 , α 2 ,⋯, α s (s1) 线性相关的充要条件是
  (A) 有两个向量的对应坐标成比例
  (B) 含有零向量
  (C) 有一个向量是其余向量的线性组合
  (D) 每一个向量都是其余向量的线性组合
正确答案：C
解答参考：
7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是
  (A) E−A
  (B) E+A
  (C) 2E−A
  (D) 2E+A
正确答案：D
解答参考：
8. 设 α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是
  (A) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 +2 α 2 + α 3
  (B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1
  (C) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1
  (D) α 1 − α 2 ,0, α 2 − α 3
正确答案：C
解答参考：
三、判断题(判断正误，共6道小题)
9. 如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。
正确答案：说法正确
解答参考：
10. A ,B 是同阶方阵，且 | AB |≠0 ，则 ( AB ) −1 = B −1 A −1 。
正确答案：说法正确
解答参考：
11. A 是 n阶方阵， λ∈R ，则有 | λA |=| λ || A | 。
正确答案：说法错误
解答参考：| λA | =λ n | A |  
12. 设 A是一个 n阶方阵且方程组 Ax=0 有非零解，则 |A|=0 。
正确答案：说法正确
解答参考：
13. 设 A是 n阶方阵( n≥2 ), λ∈R ,则 | λA |=λ| A | 。
正确答案：说法错误
解答参考：
14. 若向量组 { α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关，则 { α 1 , α 2 , α 3 } 也线性相关。
正确答案：说法错误
解答参考：
四、主观题(共13道小题)
15. | 0 1 2 ⋱ n−1 n 0 | ＝____________________。
参考答案：( −1 ) n+1 n!
16. 行列式 | 1 2 3 12, 4 1 2 5 | = 。
参考答案：0
17.  
参考答案：t=3
18.  
参考答案：
0
(R( AB )≤max{ R(A),R(B) }≤n ,且AB为m阶方阵，故不可逆)
19.  
参考答案：
λ=−3
| A |=0 ，否则 B=0
20.  
参考答案：3
21.  
参考答案：3
22.  
参考答案：( 2 −3 1 ) T
23.  
参考答案：
24. 设A是反对称矩阵,E+A是可逆矩阵。        
是正交矩阵。
参考答案：
25. 已知3阶方阵A可逆且 求A的伴随矩阵的逆矩阵.
参考答案：
26.  
参考答案：
27.  
参考答案：
线性代数复习题2
一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)
1. 设向量组 α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。
  (A) α 1 − α 2 ， α 2 − α 3 ， α 3 − α 1
  (B) α 1 ， α 2 ， α 3 + α 1
  (C) α 1 ， α 2 ，2 α 1 −3 α 2
  (D) α 2 ， α 3 ，2 α 2 + α 3
正确答案：B
解答参考：A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与α1，α2， α3 等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。
2.  
  (A) 必有一列元素全为0；
  (B) 必有两列元素对应成比例；
  (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
  (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。
正确答案：C
解答参考：
3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( )。
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 3
  (D) 4
正确答案：C
解答参考：
4. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a的值为 。
  (A) 0
  (B) 0或-1
  (C) -1
  (D) -1或1
正确答案：B
解答参考：
5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 −8 x 2 x 3 ，则 f的矩阵为 。
  (A) ( 2 4 0 0 5 −8 0 0 5 )
  (B) ( 2 4 0 0 5 −4 0 −4 5 )
  (C) ( 2 2 0 2 5 −4 0 −4 5 )
  (D) ( 2 4 0 4 5 −4 0 −4 5 )
正确答案：C
解答参考：
6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B)
  (A) 小于n
  (B) 等于n
  (C) 小于等于n
  (D) 大于等于n
正确答案：A
解答参考：
7. 若矩阵 [ 1 2 2 −3 ,1 −1 λ −3 ,1 0 2 −3 ] 的秩为2,则 λ的取值为
  (A) 0
  (B) -1
  (C) 2
  (D) -3
正确答案：C
解答参考：
8. 设 α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是
  (A) 2
  (B) -2
  (C) 1
  (D) -1
正确答案：B
解答参考：
三、判断题(判断正误，共6道小题)
9. 设 A ,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。
正确答案：说法错误
解答参考：
10. 若 A是方阵，则 | A |=| A T | 。
正确答案：说法正确
解答参考：
11. 如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。
正确答案：说法错误
解答参考：反例： A=( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) ， B=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 )
12. 非齐次线性方程组 Ax=b 一定有解。
正确答案：说法错误
解答参考：
13. 若 A、 B是 n阶非零方阵，且 AB=0 ，则 | A |≠0 或者 | B |≠0 。
正确答案：说法错误
解答参考：
14. 设 λ=0 是 n阶方阵 A的特征值，则方程组 Ax=0 有非零解。
正确答案：说法正确
解答参考：
四、主观题(共12道小题)
15. 设 α 1 =( 6 −2 0 4 ) , α 2 =( −3 1 5 7 ) ，则 3 α 1 −2 α 2 =
参考答案：3 α 1 −2 α 2 =( 24 −8 −10 −2 )
16. 设 α=( −1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则 αAB=
参考答案：αAB=( 0 14 )
17.  
参考答案：
1/3，35
18.  是线性______的，它的一个极大线性无关组是_________________。
参考答案：
相关（因为向量个数大于向量维数）。 α 1 , α 2 , α 4 。
因为α 3 =2 α 1 + α 2 , A=| α 1    α 2    α 4 | ≠0 。
19.        时，此方程组只有零解。
参考答案：r=n 时，此方程组只有零解。
20.  是分块对角矩阵，其中  
参考答案：(2n+1)!!
21.  
参考答案：| AB |=−8
22.  
参考答案：a 1/ 2
23.
为标准形。
参考答案：
24.  
参考答案：
25.  
参考答案：
26. 用正交变换化二次型 为标准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。问：这个二次型是否是正定的？为什么？
参考答案：
线性代数复习题3
一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)
1. 设 A为 n阶方阵，且A2+A−5E=0,则(A+2E)−1=( )。
  (A) A−E
  (B) A+E
  (C) 1 3 ( A−E )
  (D) 1 3 ( A+E )
正确答案：C
解答参考：A 2 +A−5E=0 ⇒ A 2 +A−2E=3E⇒( A+2E )(A−E)=3E ⇒ ( A+2E ) −1 = 1 3 (A−E)
2. 若 n维向量 α 1 ，α 2 ， ⋯ , α n 线性相关， β为任一 n维向量，则 ( )。
  (A) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性相关；
  (B) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性无关；
  (C) β一定能由 α 1 , α 2 ,⋯, α n 线性表示；
  (D) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β的相关性无法确定。
正确答案：A
解答参考：
3. 设线性方程组 { 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 −3 x 2 −2 x 3 =1 }则此方程组 。
  (A) 有唯一解
  (B) 有无穷多解
  (C) 无解
  (D) 有基础解系
正确答案：A
解答参考：
4. 设 n维向量组 α1,α2,⋯,αs,若任一 维向量都可由这个向量组线性表出,必须有        。
  (A) s= n
  (B) s< n
  (C) s n
  (D) s≥ n
正确答案：D
解答参考：
5. 设 α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量，且4阶行列式 | α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ， | γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ，则4阶行列式 | α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |=
  (A) a+b
  (B) −a−b
  (C) a−b
  (D) b−a
正确答案：C
解答参考：
6. 设 B,C 为4阶矩阵， A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且 α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组 Ax=0 的解，则它们是
  (A) 基础解系
  (B) 线性相关的
  (C) 线性无关的
  (D) A,B,C都不对
正确答案：B
解答参考：
7. 设 n维列向量 α= ( 1 2 ,0,⋯,0, 1 2 ) T ，矩阵 A=I−α α T ， B=I+2α α T ，则 AB=
  (A) 0
  (B) −I
  (C) I
  (D) I+α α T
正确答案：C
解答参考：
8.
  (A)
  (B)
  (C)
  (D)
正确答案：D
解答参考：
三、判断题(判断正误，共5道小题)
9. 设 A ,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。
正确答案：说法错误
解答参考：
10. n维向量组 { α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关，则 { α 2 , α 3 , α 4 } 线性无关。
正确答案：说法错误
解答参考：
11. 若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 一定有无穷多解。
正确答案：说法错误
解答参考：
12. 若 A ,B 均为 n阶方阵，则当 | A || B | 时， A ,B 一定不相似。
正确答案：说法正确
解答参考：相似矩阵行列式值相同
13. 设 A是 m×n 阶矩阵且线性方程组 Ax=b 有惟一解，则 m≥n 。
正确答案：说法正确
解答参考：
四、主观题(共12道小题)
14. 设 A是 m×n 矩阵, B是 p×m 矩阵，则 A T B T 是 × 阶矩阵。
参考答案：A T B T 是 n×p 阶矩阵。
15. 由m个n维向量组成的向量组，当m     n时，向量组一定线性相关。
参考答案：mn时向量组一定线性相关
16.  
参考答案：
a=6
(R( A )=2⇒| A |=0)
17.   _________________。
参考答案：( 1 2 3 4 ) T +k ( 2 0 −2 −4 ) T 。因为 R( A )=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为 η 2 + η 3 −2 η 1 ，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
18.          时方程组有唯一解。
参考答案：当 a=−2 时方程组无解，当 a=1 时方程组有无穷多个解，当 a≠1,−2 时方程组有唯一解。
19.  
参考答案：24
20.  
参考答案：t=6
21.  
参考答案：
22.  
参考答案：
23.  
参考答案：
24.
已知方阵
(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得
参考答案：
25.  
参考答案：