《近世代数》期末考试A卷
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学号：
学习中心：
一、 (共20分，5个小题，4分）
1. 剩余类环中没有非零的零因子。 （ ）
2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ ）
3. 已知是有限群的子群， 和分别表示和的元素个数，则 不一定能整除 （ ）
4. 数域上的全矩阵环不是单环。 （ ）
5. 环中理想的乘积还是理想。 （ ）
二、计算证明题（共80分，4个小题，20分）
1. 设是整数集，规定，证明：关于所定义的
运算构成交换群
2. 在四元对称群中,设.
(1) 写出的轮换分解式(即将写成一些互不相交的轮换的乘积);
(2) 设集合, 试写出中全部元素(用轮换分解式表示);
3. 有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问:
这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)
4. 求出剩余类环的所有理想和所有极大理想。 ▆ ▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
▆ 《XXXXXXXXXXXX》 试卷 共2页（第2页） 选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆ ▆ 《近世代数》 试卷 共1页（第1页） 选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆
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一、 (共20分，5个小题，4分）
1. 剩余类环中没有非零的零因子。 （ ）
2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ ）
3. 已知是有限群的子群， 和分别表示和的元素个数，则 不一定能整除 （ ）
4. 数域上的全矩阵环不是单环。 （ ）
5. 环中理想的乘积还是理想。 （ ）
二、计算证明题（共80分，4个小题，20分）
1. 设是整数集，规定，证明：关于所定义的
运算构成交换群
2. 在四元对称群中,设.
(1) 写出的轮换分解式(即将写成一些互不相交的轮换的乘积);
(2) 设集合, 试写出中全部元素(用轮换分解式表示);
3. 有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问:
这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)
4. 求出剩余类环的所有理想和所有极大理想。 ▆ ▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
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