数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an ， Sn ， an2成等差数列．

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an ， Sn ， an2成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设 ， 数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证： ．

【答案】

解：（1）由已知：对于n∈N* ， 总有2Sn=an+an2①成立

∴（n≥2）②

①﹣②得2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12 ， ∴an+an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）

∵an ， an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1=1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列

又n=1时，2S1=a1+a12 ， 解得a1=1，∴an=n．（n∈N*）

（2）解：由（1）可知∵=-

∴(-)=

【解析】

（1）根据an=Sn﹣Sn﹣1 ， 整理得an﹣an﹣1=1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．

（2）由（1）知 ， 因为=- ， 所以- ， 从而得证.