如图所示,半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l.当竖直杆以自己为轴转动并达
如图所示,半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l.当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(细绳a、b与杆在同一竖直平面内).求:
(1)竖直杆角速度ω为多大时,小球恰离开竖直杆?
(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系.
【答案】(1)竖直杆角速度ω为时,小球恰离开竖直杆;
(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为:
①0≤ω2≤时,Fa=
;
②时,
;
③ω2时,
.
(1)小球恰离开竖直杆时,受重力和拉力,拉力的竖直分力与重力平衡,水平分力提供向心力;
(2)分墙壁对球有弹力、球飞起、绳子b也有弹力三种情况讨论,注意合力的水平分力提供向心力,合力竖直分力为零.
解:(1)小球恰离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为零,此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α,由题意可知:
水平方向:Fasinα=mω2r
竖直方向:Facosα=mg
联立解得:ω2=
故ω=
(2)由(1)可知0≤ω2≤时,Fa=
若角速度ω再增大,小球将离开竖直杆,在轻绳b恰伸直前,设轻绳a与竖直杆的夹角为β,此时小球做圆周运动的半径为r=lsinβ
水平方向:
竖直方向:Facosβ=mg
联立解得:
当轻绳恰升直时,β=60°,此时ω=
固有,此时
若角速度ω再增大,轻绳b拉直后,小球做圆周运动的半径为r=lsin60°
水平方向:
竖直方向:Facos60°=Fbcos60°+mg
联立解得:,此时ω2
答:(1)竖直杆角速度ω为时,小球恰离开竖直杆;
(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为:
①0≤ω2≤时,Fa=
;
②时,
;
③ω2时,
.
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