已经平行四边形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，且△ADE是等边三角形，沿DE把△ADE折起至A1DE的位置，使得A1C=4．（1）F是线段A1C的中点，求证：BF∥平面A1DE；

已经平行四边形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，且△ADE是等边三角形，沿DE把△ADE折起至A1DE的位置，使得A1C=4．（1）F是线段A1C的中点，求证：BF∥平面A1DE；

（2）求证：A1D⊥CE；

（3）求点A1到平面BCDE的距离．

【答案】

（1）证明：取DA1的中点G，连接FG、GE，

∵F为A1C中点，

∴GF∥DC，且GF=DC，

∵E为平行四边形ABCD边AB的中点，

∴EB∥DC，且EB=DC，

∴EB∥GF，且EB=GF，

∴四边形BFGE是平行四边形，

∴BF∥EG，

∵EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE

∴BF∥平面A1DE…（4分）

（2）证明：取DE的中点H，连接A1H、CH，

∵AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，

∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形，

∴A1H⊥DE，且A1H=，

在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°

根据余弦定理，可得HC=，

在△A1HC中，A1H=，HC=13，A1C=4，

∴A1C2=A1H2+HC2 ， 即A1H⊥HC

又∵DE∩HC=H，∴A1H⊥面DEBC

又∵A1H⊂面A1DEM

∴面A1DE⊥面DEBC，

∵CE⊥DE，

∴CE⊥面A1DE，

∵A1D⊂面A1DE，

∴A1D⊥CE

（3）解：由第（2）问知A1H⊥面DEBC，∴点A1到平面BCDE的距离为A1H=

【解析】

（1）取DA1的中点G，连接FG、GE，通过证明BF∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面A1DE．

（2）取DE的中点H，连接A1H、CH，通过证明A1H⊥面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A1DE⊥面DEBC，即可证明A1D⊥CE．

（3）利用（2）的结果，直接求求点A1到平面BCDE的距离．

【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．