《计算方法一》山东20春测试答案

计算方法模拟试题 填空题1. 用插值点(2, 4), (3, 9), (5, 25)构造的二次Lagrange插值函数为______________.
2. 已知
, 则
________，
_______,
   
的二次牛顿插值多项式为_____________________.
3. 用二分法求方程
在区间[0，1]内的根, 进行一步后根所在区间为___________, 进行二步后根所在区间为_____________,  
4. 计算积分
, 用梯形公式计算求得的值为_______, 用辛普森公式计算求得的值为_____________.
5.  设
,
, 则
_________,  
_______________.计算题
已知
，求
的二次Lagrange插值多项式.
用插值点(2, 4), (3, 9), (5, 25)构造牛顿插值函数
, 并计算
.
求三个常数
,  使求积公式


具有尽可能高的代数精确度.
参考答案:
  令
代入所给的近似积分公式,使公式精确成立, 得:
                 

联立求解可得:  
; 代回得到:
               

它至少具有2的代数精确度.
   令
,代入近似公式: 左边=4,  右边
. 左边等于右边.  
   令
,代入近似公式: 左边=
,  右边
. 左边不等于右边.
因此, 此近似积分公式的代数精确度为3.用最小二乘法求下列数据的线性拟合函数

      
    0.1         0.2         0.3
      
    5.1234     5.3053       5.5684
   
参考答案:
  根据给定的拟合数据, 满足法方程:
      
,  即:  

解得        

故所求的拟合函数为     

5．设
，试求方程的一个含正根的区间；给出在有根区间收敛的不动点迭代公式； 给出求有根区间上的牛顿迭代公式。
参考答案:
  因为
，且
在区间[1，2]上连续，故(1, 2)是方程的一个含有正根的区间。
取迭代函数
，则得到一个不动点迭代公式：
           
， k=0,1, …….                         (1)
对任意
,有
，
，故迭
代公式(1)在有根区间[1，2]上收敛。
牛顿迭代公式为：

,   k=0, 1, 2, …..
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