如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.

求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)直线A1F∥平面ADE.

【答案】

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由三棱柱得CC1⊥平面ABC，因此CC1⊥AD，进而可得AD⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可得平面ADE⊥平面BCC1B1.（2）由题意得A1F⊥B1C1，又由CC1⊥平面A1B1C1,得CC1⊥A1F，所以A1F⊥平面BCC1B1，又,AD⊥平面BCC1B1, 所以A1F∥AD，根据线面平行的判定定理可得直线A1F∥平面ADE.

试题解析：

(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以CC1⊥平面ABC，

又因为AD⊂平面ABC,

所以CC1⊥AD.

因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1，且CC1∩DE=E，

所以AD⊥平面BCC1B1，

又因为AD⊂平面ADE,

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,

所以A1F⊥B1C1，

又CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,

所以CC1⊥A1F，

又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1，且CC1∩B1C1=C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1，

由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,

所以A1F∥AD，

又因为AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,

所以直线A1F∥平面ADE.