已知
．
（1）若
，对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
（2）若
，证明：函数
在
有唯一的零点．
(1)
(2)见解析
（1）变量分离得到
对任意
恒成立，求右侧函数的最值即可；（2）判断函数的单调性，根据函数的零点存在性定理得，
在
上有零点。
解析：
（1）∵
对任意
恒成立，
∴
对任意
恒成立，
令
，
∵
在
内单调递减，
∴
，∴
，
∴
的取值范围是
；
（2）∵函数
在
上是增函数，
函数
在
上是减函数，
∴
在
上是增函数，
又∵
，∴
，
，
由零点存在性定理得，在
在
上有零点，
∴函数
在
有唯一的零点．
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