已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．

已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．

【答案】

△ABC为等边三角形．

【解析】

先将a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0的两边同时乘以2,可得2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0,即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0,根据完全平方公式因式分解可得: (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0,因为(a－b)2≥0,(b－c)2≥0,(a－c)2≥0,所以a－b＝0,b－c＝0,a－c＝0,根据三边的关系可判定三角形形状.

∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0,

∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0,

即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0,

∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0,

又∵(a－b)2≥0,(b－c)2≥0,(a－c)2≥0,

∴a－b＝0,b－c＝0,a－c＝0,

即a＝b＝c,∴△ABC为等边三角形.