已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．

已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．

（1）求实数t的取值范围

（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2 ， 求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；

【答案】

解：（1）根据f（x）=2x2﹣tx图象翻折后顶点值，

得﹣4＜t＜4，

即有t的取值范围是（﹣4，4）；

（2）证明：由韦达定理知，

不妨设α＜x1＜x2＜β，

由于x1、x2∈[α，β]，故（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，x1x2﹣（αx2+βx1）+αβ≤0

即4x1x2﹣4（αx2+βx1）﹣4≤0，4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4≤4（αx2+βx1）﹣t（x1+x2）

=4（αx2+βx1）﹣2（α+β）（x1+x2）=2（αx2+βx1）﹣2（αx1+βx2）=2（x2﹣x1）（α﹣β）＜0，

【解析】

（1）根据二次函数的图象的顶点，结合条件可得 ， 解不等式即可得到k的范围；

（2）运用韦达定理和不等式的性质，结合分解因式，即可得证.

【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．