已知f（x）=ex ， g（x）=x﹣m（m∈R），设h（x）=f（x）•g（x）．

已知f（x）=ex ， g（x）=x﹣m（m∈R），设h（x）=f（x）•g（x）．

（Ⅰ）求h（x）在[0，1]上的最大值．

（Ⅱ）当m=0时，试比较ef（x﹣2）与g（x）的大小，并证明．

【答案】

解：（Ⅰ）h（x）=（x﹣m）ex ， h′（x）=（x﹣m+1）ex ，

由0≤x≤1，h′（x）＞0可得0≤x≤1且x＞m﹣1；

若m≤1，h（x）在[0，1]递增，h（x）max=h（1）=（1﹣m）e；

若1＜m＜2时，h（x）在[0，m﹣1）递减，在[m﹣1，1]递增，

h（x）max=max{h（0），h（1）}，而h（1）﹣h（1）=m（1﹣e）+e，

当1＜m＜时，h（x）max=（1﹣m）e，

当≤m＜2时，h（x）max=﹣m；

若m≥2时，h（x）在[0，1]递减，h（x）max=h（0）=﹣m．

综上可得h（x）max=；

（Ⅱ）当m=0时，ef（x﹣2）=，g（x）=x，

①当x≤0时，显然有ef（x﹣2）＞g（x）；

②当x＞0时，lnef（x﹣2）=ex﹣2 ， lng（x）=lnx，

设φ（x）=ex﹣2﹣lnx，φ′（x）=ex﹣2﹣，

φ′（x）在（0，+∞）递增，而φ′（1）＜0，φ′（2）＞0，

φ′（x）在（0，+∞）有唯一的实数根x0 ，

且1＜x0＜2，ex0﹣2﹣=，φ（x）在（0，x0）递减，在（x0 ， +∞）递增，

φ（x）≥φ（x0）=ex0﹣2﹣lnx0=+x0﹣2=＞0，

即有φ（x）=ex﹣2﹣lnx＞0，即ex﹣2＞lnx，

即有ef（x﹣2）＞g（x）．

综上可得，ef（x﹣2）＞g（x）．

【解析】

（Ⅰ）求出h（x）的导数，讨论m的范围，若m≤1，若1＜m＜2时，若m≥2时，求出函数的单调性，即可得到最大值；

（Ⅱ）当m=0时，求得g（x），对x讨论，①当x≤0时，②当x＞0时，求出单调性，结合零点存在定理和对数的运算性质，即可判断大小．

【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．