已知各项是正数的数列的前n项和为.
(1)若(nN*,n≥2),且.
①求数列的通项公式;
②若对任意恒成立,求实数的取值范围;
(2)数列是公比为q(q>0, q1)的等比数列,且{an}的前n项积为.若存在正整数k,对任意nN*,使得为定值,求首项的值.
【答案】(1)①②(2)
【解析】(1)①当时,由 可得 两式相减得,即,,数列为等差数列,可得,②由①知,,所以,可得对一切恒成立,记,,判断数列的单调性,求出最大项,从而可得结果;(2)设(),,两边取常用对数,. 令,则数列是以为首项,为公差的等差数列, 若为定值,令,化为.对恒成立,问题等价于,从而可得结果.
(1)①当时,由
则
两式相减得,即,
当时,,即,
解得或(舍),
所以,即数列为等差数列,且首项,
所以数列的通项公式为.
②由①知,,所以,
由题意可得对一切恒成立,
记,则,,
所以,,
当时,,当时,,且,,,
所以当时,取得最大值,
所以实数的取值范围为.
(2)由题意,设(),,两边取常用对数,. 令,则数列是以为首项,为公差的等差数列, 若为定值,令,则,
即对恒成立,
因为,问题等价于
将代入,解得.
因为,所以,
所以,又故.
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