已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a＞0，记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a）．

已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a＞0，记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a）．

（Ⅰ）求g（a）的表达式；

（Ⅱ）若对x∈[﹣1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求实数m的取值范围．

【答案】

解：（Ⅰ）f（x）=，

∵a＞0，﹣1≤x≤1，

①0＜a≤1时，f（x）在[﹣1，a]上递减，在[a，1]上递增，则g（a）=f（a）=a2；

②a＞1时，f（x）在[﹣1，]递减，则g（a）=f（1）=3a﹣2．

则有g（a）=；

（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（a），

①0＜a≤1时，g（a）=a2 ，

当﹣1≤x≤a，h（x）=x2﹣3x+3a﹣a2在[﹣1，a]递减，

h（x）≤h（﹣1）=4+3a﹣a2≤6，

当a≤a≤1，h（x）=x2+3x﹣3a﹣a2在[a，1]上递增，

h（x）≤h（1）=4﹣3a﹣a2＜4，

②当a＞1时，g（a）=3a﹣2，h（x）=x2﹣3x+2≤h（﹣1）=6，

综上可得，h（x）=f（x）﹣g（a）在a＞0，﹣1≤x≤1上 的最大值为6．

即有h（x）≤m恒成立，即m≥6．

则m的取值范围是[6，+∞）．

【解析】

（Ⅰ）运用分段的形式写出f（x），讨论①0＜a≤1时，②a＞1时，根据单调性，可得最小值g（a）；

（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（a），讨论①0＜a≤1时，②当a＞1时，求得h（x）的最大值，即可得到m的范围．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．