如图：<img alt="1" src="/tk/20210512/1620750726792.png"/>是直径为2<img alt=&qu

如图：是直径为2的半圆，O为圆心，C是上一点，且=2 ． DF⊥CD，且DF=2，BF=2 ， E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．

（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；

（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；

【答案】

证明：（Ⅰ）∵DF=2，BF=2，BD=2，∴BF2=BD2+DF2 ，

∴BD⊥DF

又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD

∴DF⊥BC，

又BC⊥CD，∴BC⊥平面CFD，

∵BC⊂面BCE

∴面BCE⊥面CDF．

（Ⅱ）连接OQ，在面CFD内过R点做RM⊥CD，

∵O，Q为中点，∴OQ∥DF，且OQ=DE

∵DF⊥CD∴RM∥FD，

又FR=3RC，∴，∴RM=DF，

∵E为FD的中点，∴=DE．

∴OQ∥RM，且OQ=RM

∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM

又RQ⊄平面BCD，OM⊂平面BCD，∴QR∥平面BCD．

【解析】

（Ⅰ）证明BD⊥DF，DF⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面CFD，然后证明面BCE⊥面CDF．

（Ⅱ）连接OQ，通过证明RQ∥OM，然后证明QR∥平面BCD．

（Ⅲ）利用vF﹣BCE=vF﹣BCD﹣vE﹣BCD求解几何体的体积即可。

【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．