已知函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的曲线，且f(x)在区间[a，b]上单调，f(a)>0，f(b)<0.试用反证法证明：函数y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个

已知函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的曲线，且f(x)在区间[a，b]上单调，f(a)>0，f(b)<0.试用反证法证明：函数y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.

【答案】

见解析

【解析】

由题意可知y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1（x1≠x0），利用反证法证明假设不成立即可证得题中的结论.

因为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像连续不间断，且f(a)>0，f(b)<0，即f(a)·f(b)<0.所以函数y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，

假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1（x1≠x0），即f(x1)=0，

由函数f(x)在区间[a，b]上单调且f(a)>0，f(b)<0知f(x)在区间[a，b]上单调递减；

若x1>x0，则f(x1)< f(x0)，即0<0，矛盾，

若x1<x0，则f(x1) > f(x0)，即0>0，矛盾，

因此假设不成立，故y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.