已知椭圆M：：<img alt="1" src="/tk/20210512/1620750811915.png"/>+<img alt=&qu

已知椭圆M：：+=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；

（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．

【答案】

解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，

所以a2=4，所以椭圆方程为+=1；

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，

所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到

，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，

所以△=288，x1+x2=-，x1x2=﹣，

所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；

（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，

此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，

当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），

设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），

和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，

显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，

此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|

=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）

所以|S1﹣S2|的最大值为．

【解析】

（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；

（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；

（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2 ， x1x2 ， |S1﹣S2|可转化为关于x1 ， x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；

【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．