已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且<img alt="1" src="/tk/20210512/1620750743770.png"/>

已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且 ．

求数列{an}的通项公式.

【答案】

解：∵ ①，

∴4a1=a1•a2 ，

又a1=2，

∴a2=4．

当n≥2时，4Sn﹣1=an﹣1•an ②，

①﹣②得：4an=an•an+1﹣an﹣1•an ，

由题意知an≠0，

∴an+1﹣an﹣1=4，

当n=2k+1，k∈N*时，a2k+2﹣a2k=4，

即a2 ， a4 ， …，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，

∴a2k=4+4（k﹣1）=4k=2×2k；

当n=2k，k∈N*时，a2k+1﹣a2k﹣1=4，

即a1 ， a3 ， …，a2k﹣1是首项为2，公差为4的等差数列，

∴a2k﹣1=2+4（k﹣1）=4k﹣2=2×（2k﹣1）．

综上可知，an=2n，n∈N*；

【解析】

由数列递推式结合给出的a1求得a2 ， 在数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，作差后得到an+1﹣an﹣1=4，然后分n为偶数和奇数求得数列的通项公式，结合一起得到数列{an}的通项公式.