已知直线y=x+b与函数f(x)=ln x的图象交于两个不同的点A,B,其横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.

已知直线y=x+b与函数f(x)=ln x的图象交于两个不同的点A,B,其横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.

(1)求b的取值范围;

(2)当x2≥2时,证明x1·<2.

【答案】

（1）b的取值范围是(-∞,-1)；

（2）见解析.

【解析】

（1）先转化为方程两个根的情况，再研究函数g(x)=x-ln x+b单调性，根据函数图像确定有两个零点的条件，即得b的取值范围;

（2）先根据零点构造差函数：g(x1)-g= g(x2)-g，再利用导数研究差函数的单调性，最后根据单调性证明不等式.

试题解析：(1)解 由题意可得x-ln x+b=0有两个不同的实根.

设g(x)=x-ln x+b(x>0),

则g'(x)=1-(x>0).

当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

可得g(x)在x=1处取得最小值b+1,

当b<-1时,b=ln x-x在(0,1)和(1,+∞)各有一个实根,

故b的取值范围是(-∞,-1).

(2)证明 由(1)可得0<x1<1,x2>1,g(x1)=g(x2)=0,

故g(x1)-g=(x1-ln x1+b)-=(x2-ln x2+b)-=x2-3ln x2-+ln 2.

令h(t)=t--3ln t+ln 2,

则h'(t)=1-

=.

当t≥2时,h'(t)≥0,h(t)单调递增,

即h(t)≥h(2)=-2ln 2>0,

所以当x2≥2时,g(x1)-g>0,

即g(x1)>g.

因为g(x)在(0,1)内单调递减,且0<x1<1,0<<1,

所以x1<,可得x1·<2.