如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=25cm，BC=54cm，CD=30cm，且tanB=tanC=<img alt="1" src="/tk/20

如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=25cm，BC=54cm，CD=30cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为____________．

【答案】

486

【解析】

解：如图，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H．∵∠B=∠C，∴EB=EC．∵BC=54cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=27cm．∵tanB==，∴EH=36cm．在Rt△BHE中，BE==45cm．∵AB=25cm，∴AE=20cm，∴BE的中点Q在线段AB上．∵CD=30cm，∴ED=15cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上．设PN=x，矩形PQMN的面积为S，由条件可得△EQP∽△EBC，∴，解得：QP=54﹣1.5x．则S=PN•PQ=x（54﹣1.5x）==，故S的最大值为486．故答案为：486．