如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．

如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．

（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；

（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

【答案】

解：（1）根据题意，长方体体积为V=t（2﹣t）≤（）2=1

当且仅当t=2﹣t，即t=1时，体积V有最大值为1

所以当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形

作BM⊥A1C于M，连接DM，BD

因为四边形ABCD为正方形，所以△A1BC与△A1DC全等，故DM⊥A1C，

所以∠BMD即为所求二面角的平面角

因为BC⊥平面AA1B1B，所以△A1BC为直角三角形

又A1B=，A1C=，所以BM=，同理可得，DM=．

在△BMD中，根据余弦定理有：cos∠BMD==﹣

所以∠BMD=120°

即此时二面角B﹣A1C﹣D的值是120°．…9分

（2）若线段A1C上存在一点P，使得 A1C⊥平面BPD，则A1C⊥BD

又A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，所以BD⊥平面A1AC

所以BD⊥AC

底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在

由（1）知，所求点P即为BM⊥A1C的垂足M

此时，A1P==．

【解析】

（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，作BM⊥A1C于M，连接DM，BD，确定∠BMD即为所求二面角的平面角，△BMD中，根据余弦定理求二面角B﹣A1C﹣D的值；

（2）底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在．

【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．