已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间

（2）设a=﹣1，求证：当x∈（1，+∞）时，f（x）+2＞0

【答案】

（1）解：由f（x）=alnx﹣ax﹣3，

得f′（x）=，

1°若a=0，则f（x）=﹣3，函数不是单调函数，无单调区间；

2°若a＞0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）上递减；

3°若a＜0，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．

（2）证明：∵a=﹣1，∴f（x）=﹣lnx+x﹣3，

由（1）知f（x）在（1，+∞）递增，

∴f（x）＞f（1）=﹣2，

∴f（x）+2＞0．

【解析】

（1）求出原函数的导函数，然后分a=0，a＞0和a＜0分析导函数在不同区间段内的符号，由导函数的符号判断原函数的单调性；

（2）把a=﹣1代入函数解析式，由（1）知f（x）在（1，+∞）递增，结合f（x）＞f（1）=﹣2得答案。