已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足=λ（+）=（λ＞0），求λ的取值范围．

【答案】

解（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，

由已知得：22=2p所以 p=2

所以抛物线的标准方程为 x2=4y．

（Ⅱ） 因为直线与圆相切，

所以

把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0

由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0

得 t＞0或t＜﹣3

设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），

则x1+x2=4k

由=λ（+）=

得 C（4kλ，（4k2+2t）λ）

因为点C在抛物线x2=4y上，

所以，16k2λ2=4（4k2+2t）λ

因为t＞0或t＜﹣3，

所以 2t+4＞4或 2t+4＜﹣2

所以 λ的取值范围为 ．

【解析】

（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入求得p即可；

（ II） 因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足λ=（+）（λ＞0），即可得出λ的取值范围．