已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．

已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．

(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；

(2)∠DAE与∠C－∠B有何关系？

【答案】

(1) 10°；(2) DAE＝ (∠C－∠B)．

【解析】

(1)因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，根据三角形内角和定理得：

∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.因为AE是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质得：∠BAE＝∠BAC＝50°.因为∠AEC为△ABE的外角，根据外角的性质得：∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.因为AD是△ABC的高，所以∠ADE＝90°.根据直角三角形两锐角互余得：∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.

(2)根据角平分线、垂直的性质得：

∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－（ ）

又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C.

∴∠DAE＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝ (∠C－∠B)．

(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，

∴∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.

∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠BAE＝∠BAC＝50°.

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADE＝90°.

∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.

(2)由(1)知，

∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－（ ）

又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C.

∴∠DAE＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝ (∠C－∠B)．