已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是<img alt="1" src="/tk/20210512/1620750804584.png"

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

【答案】

解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，

又x2+y2=ρ2 ， x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．

（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=﹣．

令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．

又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1，

∵直线l与x轴的交点是M，∴M（2，0），

∴|MC|==，

∵N是曲线C上一动点，∴|MN|≤|MC|+r=+1．

故MN的最大值为+1

【解析】

（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．

（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，求出M点的坐标，从而得到|MC|，再由|MN|≤|MC|+r，能求出MN的最大值．