如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论： ①DG=DF；   ②四边形EFDG是菱形；  ③<img

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论： ①DG=DF； ②四边形EFDG是菱形； ③；

④当时，BE的长为，其中正确的结论个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】

D

【解析】

∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．故①正确；

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形．故②正确；

如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=FO•AF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GF•AF．故③正确；

如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG-40=0．

解得：FG=4，FG=-10（舍去）．

∵DF=GE=2，AF=10，

∴AD=．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴，即．

∴GH=．

∴BE=AD-GH=4-=，故④正确.

故选D.