如图①,直线与抛物线
交于不同的两点
、
(点
在点
的左侧).
(1)直接写出的坐标__________; (用
的代数式表示)
(2)设抛物线的顶点为,对称轴
与直线
的交点为
,连结
、
,若S△NDC=3×S△MDC,求抛物线的解析式;
(3)如图②,在(2)的条件下,设该抛物线与轴交于
、
两点,点
为直线
下方抛物线上一动点,连接
、
,设直线
交线段
于点
,△MPQ的面积为
,△MAQ的面积为
,求
的最大值.
(1)(b+2,2b+1)(2)见解析
【解析】(1)构建方程组确定解的坐标即可;
(2)如图①中,作ME⊥对称轴l于E,NF⊥l于F.又S△MDC=S△NDC,可得ME=
FN,构建方程即可解决问题;
(3)如图②中,作AH⊥MN于H,PK⊥MN于K,设直线MN交x轴于G,连接PG、OP,设P(m,m2-2m-3),由=
=
,因为AH为定值,所以PK最大时,
的值最大,此时△PGM的面积最大,构建二次函数求出点P坐标,想办法求出AH、PK即可解决问题.
解:(1)由,解得
或
,
∵点M(0,-3),
∴N(b+2,2b+1).
故答案为(b+2,2b+1).
(2)如图①中,作ME⊥对称轴l于E,NF⊥l于F.
∵抛物线的对称轴x=,
又∵S△MDC=S△NDC,
∴ME=FN,
=
×(b+2-
),
解得b=2,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(3)如图②中,作AH⊥MN于H,PK⊥MN于K,设直线MN交x轴于G,连接PG、OP,设P(m,m2-2m-3)
∵ =
=
,
∵AH为定值,
∴PK最大时,的值最大,此时△PGM的面积最大,
∵M(0,-3),N(4,5),
∴直线MN的解析式为y=2x-3,
∴G(,0),
∴S△PGM=S△POM+S△POG-S△MOG=×3×m+
×
×(-m2+2m+3)-
×3×
=-
(m-2)2+3,
∵-<0,
∴m=2时,△PGM的面积最大,此时P(2,-3),
∵AH⊥MN,A(-1,0)
∴直线AH的解析式为y=-x-
,
由 解得
,可得H(1,-1),
∴AH==
,
∵PK⊥MN,
∴直线PK的解析式为y=-x-2,
由解得
,可得K(
,-
),
∴PK==
,
∴的最大值=
=
=
.
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