椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1,<img alt="1" src="/tk/20210512/1620750835995.png"

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1,)且离心率为 ．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】

解：（1）椭圆的标准方程为

（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，

∴

∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴kAD•kBD=﹣1，

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，

∴m1=﹣2k，m2=-k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，

当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾

当m1=-k时，l的方程为y=k(x-)，则直线过定点(,0)

∴直线l过定点，定点坐标为(,0)

【解析】

（1）根据椭圆的方程和简单几何性质，使用待定系数法即可；

（2）要证明直线系y=kx+m过定点，就要找到其中的参数k，m之间的关系，把双参数化为但参数问题解决，这只要根据直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点即可，这个问题等价于椭圆的右顶点与A，B的张角是直角．

【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．