已知各项是正数的数列<img alt="1" src="/tk/20210511/1620711891915.png"/>的前n项和为<img

已知各项是正数的数列的前n项和为．

（1）若（nN*，n≥2），且．

①求数列的通项公式；

②若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）数列是公比为q（q＞0， q1）的等比数列，且{an}的前n项积为．若存在正整数k，对任意nN*，使得为定值，求首项的值．

【答案】

（1）①②（2）

【解析】

（1）①当时，由 可得 两式相减得，即，，数列为等差数列，可得，②由①知，，所以，可得对一切恒成立，记，，判断数列的单调性，求出最大项，从而可得结果；（2）设（），，两边取常用对数，． 令，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 若为定值，令，化为.对恒成立，问题等价于，从而可得结果.

（1）①当时，由

则

两式相减得，即，

当时，，即，

解得或（舍），

所以，即数列为等差数列，且首项，

所以数列的通项公式为.

②由①知，，所以，

由题意可得对一切恒成立，

记，则，，

所以，，

当时，，当时，，且，，，

所以当时，取得最大值，

所以实数的取值范围为.

（2）由题意，设（），，两边取常用对数，． 令，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 若为定值，令，则，

即对恒成立，

因为，问题等价于

将代入，解得.

因为，所以，

所以，又故.