已知函数f(x)＝<img alt="1" src="/tk/20210511/1620711249321.png"/>
已知函数f(x)＝
（Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)；
（Ⅱ）证明：f(x)＜
（e为自然对数的底数）．
(1)
;(2)见解析.
分析：（Ⅰ）由题意，根据函数导数的计算公式、法则进行运算，从而问题可得解；（Ⅱ）由题意，可将不等式的证明转化为求函数的单调性、最值的问题，通过研究函数的单调性，求出函数的最值，再根据最值点的范围，从而问题可得解.
详解：（I）
．
（Ⅱ）设
，
则函数g(x)在
单调递减，且
，
，
所以存在
，使g(x0)＝0，即
，
所以 x0＋1－(2x0＋1)lnx0＝0，
所以 f′(x)＝0，且f (x)在区间(0，x0)单调递增，区间(x0，＋∞)单调递减．
所以 f (x)≤f (x0)＝
＝
．
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