已知函数f（x）=logkx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．

已知函数f（x）=logkx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）若bn=an+f（an），当k=时，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；

（3）若cn=anlgan ， 问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

【答案】

解：（1）证明：由题意可得f（an）=4+2（n﹣1）=2n+2，

即logkan=2n+2，

∴，

∴．

∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，

∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列；

（2）当k=时，，f（an）=2n+2，

所以，

因为n≥1，所以，是递增数列，

因而最小值为S1=1+3+﹣=．

（3）由（1）知，，

要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，

即（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．

当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k2对一切n∈N*恒成立；

当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k2对一切n∈N*恒成立，

只需，

∵单调递增，

∴当n=1时，．

∴，且0＜k＜1，∴．

综上所述，存在实数满足条件．

【解析】

（1）运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得an=k2n+2 ， 再由等比数列的定义即可得证；

（2）求得an ， f（an），再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小值；

（3）由题意可得（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．讨论k＞1，0＜k＜1，运用数列的单调性即可得到所求k的范围．