已知函数<img alt="1" src="/tk/20210511/1620711354905.png"/>．

已知函数．

（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

【答案】

(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

(2)证明见解析.

【解析】

分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；

(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.

详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．

由题设知，f ′（2）=0，所以a=．

从而f（x）=，f ′（x）=．

当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

（2）当a≥时，f（x）≥．

设g（x）=，则

当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．

故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．

因此，当时，．