定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”.利用该定义完成以下各题:
(1) 理解
填空:如图1,在四边形ABCD中,若______(填一种情况),则四边形ABCD是“准菱形”;
(2)应用
证明:对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形;(请画出图形,写出已知,求证并证明)
(3) 拓展
如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF,连接AD,BF,若平移后的四边形ABFD是“准菱形”,求线段BE的长.
(1)答案不唯一,如AB=BC.(2)见解析;(3) BE=2或或
或
.
整体分析:
(1)根据“准菱形”的定义解答,答案不唯一;(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形,矩形的邻边相等时即是正方形;(3)根据平移的性质和“准菱形”的定义,分四种情况画出图形,结合勾股定理求解.
解:(1)答案不唯一,如AB=BC.
(2)已知:四边形ABCD是“准菱形”,AB=BC,对角线AC,BO交于点O,且AC=BD,OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是“准菱形”,AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
(3)由平移得BE=AD,DE=AB=2,EF=BC=1,DF=AC=.
由“准菱形”的定义有四种情况:
①如图1,当AD=AB时,BE=AD=AB=2.
②如图2,当AD=DF时,BE=AD=DF=.
③如图3,当BF=DF=时,延长FE交AB于点H,则FH⊥AB.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠ABC=45°.
∴∠BEH=∠ABE=45°.∴BE=BH.
设EH=BH=x,则FH=x+1,BE=x.
∵在Rt△BFH中,BH2+FH2=BF2,
∴x2+(x+1)2=()2,
解得x1=1,x2=-2(不合题意,舍去),
∴BE=x=
.
④如图4,当BF=AB=2时,与③)同理得:BH2+FH2=BF2.
设EH=BH=x,则x2+(x+1)2=22,
解得x1=,x2=
(不合题意,舍去),
∴BE=x=
.
综上所述,BE=2或或
或
.
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